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非歐幾里得幾何學
非歐幾里得幾何學是任何一致的幾何體系，它否定或修改了歐幾里得的平行公設，從而產生彎曲或非平坦的空間。
概觀
兩千多年來，歐幾里得幾何被視為物理空間的唯一描述。十九世紀初，數學家高斯、博亞伊與羅巴切夫斯基各自獨立發現，以不同替代公設取代平行公設，可得到內部一致的幾何體系。雙曲幾何（過直線外一點可作無數條平行線）與橢圓幾何（不存在平行線）均被證明在邏輯上成立。黎曼在一八五四年的演講中將這些思想推廣為任意維度彎曲空間的強大框架，從根本上打破了幾何學必須描述平坦空間的假設。
為什麼重要
非歐幾何對物理學的影響具有革命性：愛因斯坦於一九一五年提出的廣義相對論使用黎曼幾何，將重力描述為時空曲率。這一發現也重塑了哲學，反駁了康德關於歐幾里得空間是必然直觀形式的主張。在現代電腦科學中，雙曲幾何可有效嵌入階層資料結構。數學上更廣泛的革命顯示，多個一致的公理系統均可成立，深刻影響了數學基礎。