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非ユークリッド幾何学
非ユークリッド幾何学とは、ユークリッドの平行線公準を否定または修正した一貫した幾何学体系であり、曲がった空間や非平坦な空間を記述する。
概要
二千年以上にわたり、ユークリッド幾何学は物理空間の唯一の記述と見なされていた。十九世紀初頭、ガウス・ボヤイ・ロバチェフスキーがそれぞれ独立に、平行線公準を別の公準に置き換えても内部的に一貫した幾何学が得られることを発見した。直線外の一点を通る平行線が無数に存在する双曲幾何学と、平行線が存在しない楕円幾何学はどちらも論理的に妥当であることが示された。リーマンは一八五四年の講義でこれらの考えを任意次元の曲がった空間の強力な枠組みへと一般化し、幾何学が平坦な空間を記述しなければならないという前提を覆した。
なぜ重要か
非ユークリッド幾何学が物理学に与えた影響は革命的で、一九一五年にアインシュタインが定式化した一般相対性理論はリーマン幾何学を用いて重力を時空の曲率として記述した。この発見は哲学をも再形成し、ユークリッド空間が直観の必然的形式であるというカントの主張を反駁した。現代のコンピュータ科学では、双曲幾何学が階層データ構造の効率的な埋め込みを可能にする。数学全体に及んだ広範な革命は、複数の一貫した公理系が可能であることを示し、数学の基礎論に深く影響を与えた。