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微分幾何
微分幾何是將微積分應用於曲面空間的數學分支，研究流形——這些空間在局部上類似平坦的歐幾里得幾何，但在整體上以複雜方式彎曲。
概觀
其核心研究對象是曲率、測地線（曲面上的最短路徑）與聯絡（比較不同點處向量的規則）。這些工具對愛因斯坦的廣義相對論不可或缺——廣義相對論將重力描述為四維時空的彎曲而非一種力——這一發現從根本上變革了物理學，若無黎曼早先奠定的框架則不可能實現。
為什麼重要
粒子物理學中的規範場論——標準模型的數學基礎——以微分幾何的纖維叢加以表述。本領域如今塑造了機器人學（在約束流形上的運動規劃）、電腦圖形學，以及機器學習在曲線參數空間上的最佳化。