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微分幾何
微分幾何学は、曲がった空間に微積分を適用する数学の一分野であり、局所的には平坦なユークリッド幾何学に似ているが大局的には複雑に曲がる滑らかな空間である多様体を研究する。
概要
その中心的な対象は曲率・測地線（曲面上の最短経路）・接続（異なる点におけるベクトルを比較するための規則）である。これらのツールはアインシュタインの一般相対性理論——重力を力ではなく4次元時空の曲率として記述する——に不可欠であることが証明された。この発見は物理学を根本的に変容させ、リーマンの先行する枠組みなしには不可能であった。
なぜ重要か
素粒子物理学のゲージ理論——標準模型の数学的基盤——は微分幾何学から引き出されたファイバー束を用いて定式化される。この分野は現在、ロボティクス（拘束された多様体上の運動計画）・コンピュータグラフィクス・曲がったパラメータ空間上の機械学習最適化を形成している。