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公理系統
公理系統是一種形式結構，其中所有定理皆從一組明確陳述的公理出發，依邏輯推理規則導出。
概觀
以公理組織知識的方法是數學的基礎，可追溯至古希臘。歐幾里得於西元前約三百年所著的《幾何原本》，從五條公設推導出數百個幾何命題，樹立了此方法的典範。十九至二十世紀，公理化思想迎來革命：大衛·希爾伯特以公理方式重新整理幾何學，弗雷格、羅素與懷特海嘗試將全部數學奠基於形式邏輯之上。哥德爾於一九三一年證明的不完備定理顯示，任何足夠強大的公理系統若能表達算術，必然包含自身無法證明的真命題，從根本上改變了數學哲學。
為什麼重要
公理系統塑造了現代數學幾乎每個分支，為集合論、代數與拓撲學等領域奠定了嚴格基礎。其影響延伸至電腦科學，形式公理方法使軟體驗證、類型理論與自動證明工具成為可能。形式系統存在內在極限這一關鍵洞見，深刻改變了認識論與科學哲學。