s 平面與極點 s-Plane & Poles

把游標移到算式裡的符號上（手機點一下），看它對應到畫面上的哪個東西。

四種個性（上面那排縮圖）對回極點位置：ζ = 0 極點落在虛軸上（等幅震盪永不停）；0 < ζ < 1 共軛極點對（過衝後收斂，ζ 越小衝越高）；ζ = 1 重極點落在 −ωn（固定 ωn、在不震盪的 ζ≥1 族內最快趨近目標）；ζ > 1 兩個實極點（不震盪，被較慢的那個拖尾）。

每個符號對回剛剛畫面上的東西：

ζ

ζ 阻尼比：決定阻尼型態。0 ≤ ζ < 1 時，cos θ = ζ（θ 從負實軸量起）；ζ > 1 時是兩個實極點，不適用這個角度關係。

ωn

ωn 自然頻率：0 ≤ ζ ≤ 1 時，極點到原點的距離等於 ωn；ζ > 1 時兩實極點的距離不同。固定 ζ，只改 ωn 會縮放時間軸，不改變無因次曲線形狀。

s

s：複數頻率，s 平面上的座標；極點＝讓分母為零的位置＝畫面上的 ✕。

σ = ζωn

σ = ζωn：欠阻尼共軛極點實部的大小，決定振盪包絡的衰減率。過阻尼時須分別看兩個實極點，較接近零的極點主導晚期拖尾。

ω_d = ωn√(1−ζ²)

ω_d = ωn√(1−ζ²)：0 ≤ ζ < 1 時的振盪角頻率，也是極點虛部的大小；ζ ≥ 1 時沒有振盪。

φ = cos⁻¹ ζ

φ = cos⁻¹ ζ：只用於 0 ≤ ζ < 1 的這條步階公式，讓 y(0) = 0。

e^(−ζωn t)/√(1−ζ²)

e^(−ζωn t)/√(1−ζ²)：0 < ζ < 1 時，響應位於 1 加減此振幅的包絡內，並逐漸收攏；ζ = 0 時包絡不衰減，ζ ≥ 1 不適用此式。

y(t)

y(t)：零初始條件、單位步階輸入下的響應。ζ > 0 時趨近 1；ζ = 0 時持續振盪，沒有安定下來的極限。