傅立葉級數 Fourier Series
用越來越多圓滑弦波，逼近有直角的方波。
1先動手玩
一層一層把方波疊回來
目標：方波（虛線）
你疊出來的（前 N 顆弦波）
淡色面積＝還差多少
目前最高次的那顆（拖 N 時短暫顯示）
2觀察
先讓畫面回答
- 只疊 1 顆：一條圓圓的弦波，離方波還很遠。
- 一路疊到 8 顆：形狀愈來愈方，但盯著轉角——突起變窄了，卻沒消失。
3哪裡用得到
「拆成弦波」是整個訊號世界的地基
- MP3 與串流音樂——把聲音拆成頻率成分，耳朵聽不到的直接丟掉，檔案就小了。
- 等化器（EQ）——音樂 App 拉「低音／高音」滑桿，就是在調各頻率成分的大小。
- JPEG 圖片——影像版的同一招：把圖拆成頻率成分再壓縮，丟掉眼睛不敏感的高頻。
- 電力與電路——方波訊號、馬達雜訊都由諧波組成；工程師用這個總和找出干擾來自哪一顆弦波。
4寫成式子
剛剛疊的東西，寫成一個總和
疊到夠方了？打開來看
方波(t) ≈ (4/π)·[ sin(ωt) + ⅓sin(3ωt) + ⅕sin(5ωt) + … ]
把游標移到算式的符號上（手機點一下），看它在講括號裡的哪一件事。
括號裡每一項都是一顆弦波。N 就是你那支滑桿——取括號裡的前 N 項。
- ω
- 基頻角頻率：括號裡第一顆（也是最慢那顆）弦波的快慢，定義整個方波的週期。
- 1、⅓、⅕…
- 遞減係數：頻率只取 1、3、5…（奇數倍），而且前面的分數讓愈後面的愈矮，所以高階只負責修邊角。
- 4/π
- 整體高度係數：對應目標方波的 ±1 平台；有限項不受 ±1 約束，例如 N = 1 的峰值就是 4/π ≈ 1.273。
- N
- 你的滑桿：取括號裡的前 N 項。N 越大，愈多高階項加進來，轉角愈方。
項數增加時，跳點附近的過衝趨近跳躍量的 8.949%，這叫 Gibbs 現象。本頁從 −1 跳到 +1，跳躍量是 2，所以峰值趨近 1.179，也就是比 +1 平台高約 17.9%；畫面的「+18%」採用平台作分母。有限項的比例會略有不同，增加項數只讓突起更靠近跳點，不會消除極限過衝。
來源與範圍
互動是指定條件下的教學模型；圖像幫助觀察，不能取代公式的適用條件。
連結
回到 Neblux 圖譜
這頁暫時掛在較寬的「Fourier Analysis」節點；傅立葉級數是其中較窄的一個焦點，等資料變更經過審查後才考慮拆出更精確的節點。
打開對應圖譜節點